Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} - x^{2}$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 9 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 9 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9} + x^{2}}$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 9)} + x^{2}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 3^{2})} + x^{2}}$

Étape 3.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 3) (x - 3)} + x^{2}}$

Étape 3.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} ((x + 3) (x - 3))} + x^{2}}$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x^{2}}$

Étape 3.2

Placez le terme $- 9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x^{2}}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} + 1}$

Étape 6

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x - 3) + 3 (x - 3)}}{x} + 1}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}}{x} + 1}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 7.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Étape 7.1.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Étape 7.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + 1}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 9 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + 1}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + 1}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 11.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 12

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 13

Évaluez la limite.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 13.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 13.3

Placez la limite sous le radical.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 14.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 14.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 14.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 14.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.8.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.8.3

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.8.4

Soustrayez $9$ de $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.2.9

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 14.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 14.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x - 3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.7

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.12

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.13

Additionnez $x$ et $x$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.14

Soustrayez $3$ de $3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.15

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.4

Réduisez.

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Étape 14.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 14.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 14.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 15

Évaluez la limite.

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{1} + 1}$

Étape 15.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.4.1

Divisez $\sqrt{1}$ par $1$ .

$- 9 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.4.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- 9 \frac{1}{1 + 1}$

Étape 15.4.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 9 (\frac{1}{2})$

Étape 15.4.3

Associez $- 9$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 9}{2}$

Étape 15.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{9}{2}$

Forme décimale :

$- 4.5$