Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Étape 1.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0^{3}}}$

Étape 1.1.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Étape 1.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Étape 1.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Étape 1.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 1.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 1.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Étape 1.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.3.10.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \cos (x) (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) x^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \cos (0) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \cos (0) \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 \cdot 1 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 0^{2}$

Étape 4.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0$

Étape 4.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$0$