Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{{(2 x - 5)}^{5} - 243}{{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} {(2 x - 5)}^{5} - 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} {(2 x - 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $5$ de ${(2 x - 5)}^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{5} - lim_{x \to 4} 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $243$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{{(8 - 1 \cdot 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{{(8 - 5)}^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Soustrayez $5$ de $8$ .

$\frac{3^{5} - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{243 - 1 \cdot 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $243$ .

$\frac{243 - 243}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $243$ de $243$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} {(5 x - 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(5 x - 12)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} 5 x - 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} 5 x - lim_{x \to 4} 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - lim_{x \to 4} {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.6

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + 4)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.9

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 4 - 1 \cdot 12)}^{3} - {(lim_{x \to 4} x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 4 - 1 \cdot 12)}^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.10

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.10.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.10.1.1.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{0}{{(20 - 1 \cdot 12)}^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.10.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{0}{{(20 - 12)}^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.10.1.2

Soustrayez $12$ de $20$ .

$\frac{0}{8^{3} - {(4 + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.10.1.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{512 - {(4 + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3.10.1.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{0}{512 - 8^{3}}$

Étape 1.1.3.10.1.5

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{512 - 1 \cdot 512}$

Étape 1.1.3.10.1.6

Multipliez $- 1$ par $512$ .

$\frac{0}{512 - 512}$

Étape 1.1.3.10.2

Soustrayez $512$ de $512$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.10.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.11

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{{(2 x - 5)}^{5} - 243}{{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5} - 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5} - 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(2 x - 5)}^{5} - 243$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 243]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 5] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 5] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 5] + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.7

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.3.8

Multipliez $2$ par $5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 243]}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 243$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 243$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $10 {(2 x - 5)}^{4}$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(5 x - 12)}^{3} - {(x + 4)}^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(5 x - 12)}^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 5 x - 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x - 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [5 x - 12] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [5 x - 12] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x - 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x - 12] + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.5

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.7

Additionnez $5$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{3 {(5 x - 12)}^{2} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.7.8

Multipliez $5$ par $3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} + \frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- {(x + 4)}^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x + 4)}^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])}$

Étape 1.3.8.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}$

Étape 1.3.8.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}$

Étape 1.3.8.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]))}$

Étape 1.3.8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4]))}$

Étape 1.3.8.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0))}$

Étape 1.3.8.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1)}$

Étape 1.3.8.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - (3 {(x + 4)}^{2})}$

Étape 1.3.8.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 {(5 x - 12)}^{2} - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.1

Réécrivez ${(5 x - 12)}^{2}$ comme $(5 x - 12) (5 x - 12)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 ((5 x - 12) (5 x - 12)) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.2

Développez $(5 x - 12) (5 x - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 x (5 x - 12) - 12 (5 x - 12)) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x - 12)) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} + 5 x \cdot - 12 - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3.1.4

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 60 x - 12 (5 x) - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3.1.5

Multipliez $5$ par $- 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 60 x - 60 x - 12 \cdot - 12) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 60 x - 60 x + 144) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3.2

Soustrayez $60 x$ de $- 60 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2} - 120 x + 144) - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{15 (25 x^{2}) + 15 (- 120 x) + 15 \cdot 144 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.5.1

Multipliez $25$ par $15$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} + 15 (- 120 x) + 15 \cdot 144 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.5.2

Multipliez $- 120$ par $15$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 15 \cdot 144 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.5.3

Multipliez $15$ par $144$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.6

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 ((x + 4) (x + 4))}$

Étape 1.3.9.1.7

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x (x + 4) + 4 (x + 4))}$

Étape 1.3.9.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))}$

Étape 1.3.9.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)}$

Étape 1.3.9.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)}$

Étape 1.3.9.1.8.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)}$

Étape 1.3.9.1.8.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)}$

Étape 1.3.9.1.8.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 (x^{2} + 8 x + 16)}$

Étape 1.3.9.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 x^{2} - 3 (8 x) - 3 \cdot 16}$

Étape 1.3.9.1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.10.1

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 x^{2} - 24 x - 3 \cdot 16}$

Étape 1.3.9.1.10.2

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{375 x^{2} - 1800 x + 2160 - 3 x^{2} - 24 x - 48}$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $3 x^{2}$ de $375 x^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{372 x^{2} - 1800 x + 2160 - 24 x - 48}$

Étape 1.3.9.3

Soustrayez $24 x$ de $- 1800 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{372 x^{2} - 1824 x + 2160 - 48}$

Étape 1.3.9.4

Soustrayez $48$ de $2160$ .

$lim_{x \to 4} \frac{10 {(2 x - 5)}^{4}}{372 x^{2} - 1824 x + 2112}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $372 x^{2} - 1824 x + 2112$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10 {(2 x - 5)}^{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{372 x^{2} - 1824 x + 2112}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $372 x^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2}) - 1824 x + 2112}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 1824 x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2}) + 2 (- 912 x) + 2112}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (186 x^{2}) + 2 (- 912 x)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x) + 2112}$

Étape 1.4.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2112$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x) + 2 (1056)}$

Étape 1.4.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (186 x^{2} - 912 x) + 2 (1056)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x + 1056)}$

Étape 1.4.2.6

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{2 (5 {(2 x - 5)}^{4})}{2 (186 x^{2} - 912 x + 1056)}$

Étape 1.4.2.7

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 4} \frac{5 {(2 x - 5)}^{4}}{186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{{(2 x - 5)}^{4}}{186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{lim_{x \to 4} {(2 x - 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $4$ de ${(2 x - 5)}^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 \frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{{(lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - 912 x + 1056}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{lim_{x \to 4} 186 x^{2} - lim_{x \to 4} 912 x + lim_{x \to 4} 1056}$

Étape 2.8

Placez le terme $186$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 912 x + lim_{x \to 4} 1056}$

Étape 2.9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 912 x + lim_{x \to 4} 1056}$

Étape 2.10

Placez le terme $912$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1056}$

Étape 2.11

Évaluez la limite de $1056$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{{(2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + 1056}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$5 \frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + 1056}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$5 \frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 lim_{x \to 4} x + 1056}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$5 \frac{{(2 \cdot 4 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$5 \frac{{(8 - 1 \cdot 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \frac{{(8 - 5)}^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $5$ de $8$ .

$5 \frac{3^{4}}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Étape 4.1.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$5 \frac{81}{186 \cdot 4^{2} - 912 \cdot 4 + 1056}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$5 \frac{81}{186 \cdot 16 - 912 \cdot 4 + 1056}$

Étape 4.2.2

Multipliez $186$ par $16$ .

$5 \frac{81}{2976 - 912 \cdot 4 + 1056}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 912$ par $4$ .

$5 \frac{81}{2976 - 3648 + 1056}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $3648$ de $2976$ .

$5 \frac{81}{- 672 + 1056}$

Étape 4.2.5

Additionnez $- 672$ et $1056$ .

$5 (\frac{81}{384})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $81$ et $384$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$5 \frac{3 (27)}{384}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $384$ .

$5 \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 128}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 128}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{27}{128})$

Étape 4.4

Multipliez $5 (\frac{27}{128})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Associez $5$ et $\frac{27}{128}$ .

$\frac{5 \cdot 27}{128}$

Étape 4.4.2

Multipliez $5$ par $27$ .

$\frac{135}{128}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{135}{128}$

Forme décimale :

$1.0546875$