Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x - 2}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 4.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}}$

Étape 4.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{5 + 0}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

Étape 6.1.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{1 + 4 \cdot 0}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{1 + 0}}$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{1}}$

Étape 6.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{5}{- 1 \cdot 1}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Étape 6.4

Divisez $5$ par $- 1$ .

$- 5$