Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{8 x - 9}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + 5 x - 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + lim_{x \to - 3} 5 x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 5 x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 5 x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Étape 5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Étape 6

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - lim_{x \to - 3} 9}$

Étape 8

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 9}$

Étape 9

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 9}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 9}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 9}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun à $3 {(- 3)}^{2} + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12$ et $8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2}) + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 11.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $5 \cdot - 3$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2}) - (- 5 \cdot - 3) - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 11.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 {(- 3)}^{2}) - (- 5 \cdot - 3)$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3) - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 11.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 12$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3) - 1 (12)}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 11.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3) - 1 (12)$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 11.1.6

Réécrivez $- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)$ comme $- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)$ .

$\frac{- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 11.1.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)}{- 1 \cdot 9 - 3 \cdot 8}$

Étape 11.1.8

Factorisez $3$ à partir de $- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{- 1 \cdot 9 - 3 \cdot 8}$

Étape 11.1.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.9.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 9$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3) - 3 \cdot 8}$

Étape 11.1.9.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \cdot 8$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3) + 3 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 11.1.9.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 1 \cdot 3) + 3 (- 1 \cdot 8)$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8)}$

Étape 11.1.9.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8)}$

Étape 11.1.9.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 9 - 5 \cdot - 1 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{- 1 (- 9 - 5 \cdot - 1 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 (- 9 + 5 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Étape 11.2.4

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Étape 11.2.5

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Étape 11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 3 - 1 \cdot 8}$

Étape 11.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 3 - 8}$

Étape 11.3.3

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 11}$

Étape 11.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{- 11}$

Étape 11.5

Divisez $0$ par $- 11$ .

$0$