Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 27}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.3

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.4

Additionnez $2$ et $15$ .

$\sqrt[3]{\frac{17 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.5

Soustrayez $81$ de $17$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1}}$

Étape 12.8

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{8}}$

Étape 12.9

Divisez $- 64$ par $8$ .

$\sqrt[3]{- 8}$

Étape 12.10

Réécrivez $- 8$ comme ${(- 2)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

Étape 12.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$- 2$