Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.3

Multipliez $- 3$ par $81$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.4

Additionnez $2$ et $15$ .

$\sqrt[3]{\frac{17 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.5

Soustrayez $243$ de $17$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1}}$

Étape 12.8

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{8}}$

Étape 12.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.9.1

Annulez le facteur commun à $- 226$ et $8$ .

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Étape 12.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 226$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 (- 113)}{8}}$

Étape 12.9.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.9.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

Étape 12.9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

Étape 12.9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{\frac{- 113}{4}}$

Étape 12.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt[3]{- \frac{113}{4}}$

Étape 12.10

Réécrivez $- \frac{113}{4}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}$ .

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Étape 12.10.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{113}{4}}$

Étape 12.10.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}}$

Étape 12.11

Extrayez les termes de sous le radical.

${(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

Étape 12.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

Étape 12.13

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{113}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 12.14

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Étape 12.15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.15.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 12.15.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 12.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 12.15.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 12.15.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 12.15.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 12.15.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 12.15.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.15.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.15.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.15.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 12.15.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 12.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.16.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 12.16.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 12.16.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 12.16.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 12.16.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 12.16.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{\sqrt[3]{113} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 12.16.5

Associez les exposants.

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Étape 12.16.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{2 \sqrt[3]{113 \cdot 2}}{4}$

Étape 12.16.5.2

Multipliez $113$ par $2$ .

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{4}$

Étape 12.17

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 12.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{226}$ .

$- \frac{2 (\sqrt[3]{226})}{4}$

Étape 12.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

Étape 12.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

Étape 12.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

Forme décimale :

$- 3.04559967 \dots$