Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 9 x^{2} + 18 x}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 9 x^{2} + 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 9 x^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 9 x^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Étape 4

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Étape 6

Placez le terme $18$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} 6 x^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} 6 x^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Étape 9

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Étape 11

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Étape 12.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Étape 12.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun à $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3$ et $3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (- 3 \cdot 3^{2}) + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3^{2} + 3 (- 3 \cdot 3^{2})$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2}) + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.4

Factorisez $3$ à partir de $18 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2}) + 3 (6 \cdot 3)}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2}) + 3 (6 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $6 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot 3^{2} + 3 (2 \cdot 3^{2}) + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3^{2} + 3 (2 \cdot 3^{2})$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 9 \cdot 3}$

Étape 13.1.6.4

Factorisez $3$ à partir de $9 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 3 (3 \cdot 3)}$

Étape 13.1.6.5

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 3 (3 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3)}$

Étape 13.1.6.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3)}$

Étape 13.1.6.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun à $3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3$ et $3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- 3^{2}) + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3 + 3 (- 3^{2})$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2}) + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.4

Factorisez $3$ à partir de $6 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2}) + 3 (2 \cdot 3)}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot (3 - 3^{2}) + 3 (2 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $2 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot 3 + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3 + 3 (2 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3) + 3 \cdot 3}$

Étape 13.2.6.4

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3) + 3 (3)}$

Étape 13.2.6.5

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot (3 + 2 \cdot 3) + 3 (3)$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3 + 3)}$

Étape 13.2.6.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3 + 3)}$

Étape 13.2.6.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - 3^{2} + 2 \cdot 3}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Étape 13.3.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{3 - 9 + 2 \cdot 3}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Étape 13.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 - 9 + 6}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Étape 13.3.4

Soustrayez $9$ de $3$ .

$\frac{- 6 + 6}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Étape 13.3.5

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Étape 13.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0}{3 + 6 + 3}$

Étape 13.4.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{0}{9 + 3}$

Étape 13.4.3

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{0}{12}$

Étape 13.5

Divisez $0$ par $12$ .

$0$