Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}}$

Étape 1.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Étape 1.1.3.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 + 6 \cdot - 3 + 9}}$

Étape 1.1.3.7.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 - 18 + 9}}$

Étape 1.1.3.7.3

Soustrayez $18$ de $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{- 9 + 9}}$

Étape 1.1.3.7.4

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{0}}$

Étape 1.1.3.7.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{0^{2}}}$

Étape 1.1.3.7.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]}$

Étape 1.3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 9}]$ comme $\frac{d}{d x} [x + 3]$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.5.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}}]}$

Étape 1.3.5.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 1.3.5.1.3

Réécrivez le polynôme.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}]}$

Étape 1.3.5.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x + 3)}^{2}}]}$

Étape 1.3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Étape 1.3.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 x + 3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + 3$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 3$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + 3$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$2 \cdot - 3 + 3$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 + 3$

Étape 4.2

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$- 3$