Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 13}^{29} \frac{3 - 4 k}{2}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 13}^{29} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k - \sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 \sum_{k = 1}^{29} k$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{3}{2}) (29)$

Étape 2.2.3

Multipliez $(\frac{3}{2}) (29)$ .

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Étape 2.2.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $29$ .

$\frac{3 \cdot 29}{2}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $3$ par $29$ .

$\frac{87}{2}$

Étape 2.3

Évaluez $2 \sum_{k = 1}^{29} k$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{29 (29 + 1)}{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1.1

Additionnez $29$ et $1$ .

$- 2 \frac{29 \cdot 30}{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $29$ par $30$ .

$- 2 (\frac{870}{2})$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{870}{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{870}{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 870$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $870$ .

$- 870$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{87}{2} - 870$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Pour écrire $- 870$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{87}{2} - 870 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.5.2

Associez $- 870$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{87}{2} + \frac{- 870 \cdot 2}{2}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{87 - 870 \cdot 2}{2}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $- 870$ par $2$ .

$\frac{87 - 1740}{2}$

Étape 2.5.4.2

Soustrayez $1740$ de $87$ .

$\frac{- 1653}{2}$

Étape 2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1653}{2}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k$ .

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Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 \sum_{k = 1}^{12} k$

Étape 3.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2}$ .

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Étape 3.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{3}{2}) (12)$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{3}{2} (2 (6))$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} (2 \cdot 6)$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 6$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$18$

Étape 3.3

Évaluez $2 \sum_{k = 1}^{12} k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Additionnez $12$ et $1$ .

$- 2 \frac{12 \cdot 13}{2}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $12$ par $13$ .

$- 2 (\frac{156}{2})$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{156}{2}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{156}{2}$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 156$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $156$ .

$- 156$

Étape 3.4

Additionnez les résultats des additions.

$18 - 156$

Étape 3.5

Soustrayez $156$ de $18$ .

$- 138$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- \frac{1653}{2} + 138$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Pour écrire $138$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1653}{2} + 138 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2

Associez $138$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1653}{2} + \frac{138 \cdot 2}{2}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1653 + 138 \cdot 2}{2}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $138$ par $2$ .

$\frac{- 1653 + 276}{2}$

Étape 5.4.2

Additionnez $- 1653$ et $276$ .

$\frac{- 1377}{2}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1377}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1377}{2}$

Forme décimale :

$- 688.5$

Forme de nombre mixte :

$- 688 \frac{1}{2}$