Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{x - 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 1}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $v (x^{2} - x - 2)$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{v (3^{2} - 1 \cdot 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{v (9 - 1 \cdot 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{v (9 - 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.3

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{v (6 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.4

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{3 - 1}}$

Étape 6.1.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2}$