Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2 - 6 x + 9}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Étape 1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Étape 1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Étape 1.6

Additionnez $2$ et $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{- 6 x + 11}}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $x^{- 6 x + 11}$ comme $e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}}$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{- 6 x + 11})$ en déplaçant $- 6 x + 11$ hors du logarithme.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} - 6 x + 11 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Étape 3.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $11$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Étape 3.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Placez $e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(9 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$(9 - 6 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(9 - 6 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Étape 5.3

Soustrayez $6$ de $9$ .

$(3 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Étape 5.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0 e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Étape 5.5

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$0 e^{- (- 18 + 11) \cdot \ln (3)}$

Étape 5.6

Additionnez $- 18$ et $11$ .

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

Étape 5.7

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

Étape 5.8

Simplifiez $7 \cdot \ln (3)$ en déplaçant $7$ dans le logarithme.

$0 e^{\ln (3^{7})}$

Étape 5.9

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$0 \cdot 3^{7}$

Étape 5.10

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$0 \cdot 2187$

Étape 5.11

Multipliez $0$ par $2187$ .

$0$