Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (x)$ comme $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Étape 7

Associez $- u]_{1}^{0}$ et $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ sur $0$ et sur $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 8.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 8.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 8.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 8.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 8.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 8.2.7

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Étape 8.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 8.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 8.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Étape 8.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Étape 8.2.11.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Étape 8.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - - \frac{2}{3}$

Étape 8.2.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Étape 8.2.14

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Étape 8.2.15

Additionnez $0$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$