Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 2}}}{8}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{6}}}{8}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $512$ et $6$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $512$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 (256)}{6}}}{8}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{\frac{256}{3}}}{8}$

Étape 8.3.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{256}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}}{8}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.3.1

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{16^{2}}}{\sqrt{3}}}{8}$

Étape 8.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}}}{8}$

Étape 8.3.4

Multipliez $\frac{16}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{8}$

Étape 8.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.5.1

Multipliez $\frac{16}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{8}$

Étape 8.3.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{8}$

Étape 8.3.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{8}$

Étape 8.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{8}$

Étape 8.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{8}$

Étape 8.3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Étape 8.3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Étape 8.3.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Étape 8.3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Étape 8.3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{1}}}{8}$

Étape 8.3.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{16 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $8$ à partir de $16 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$1.15470053 \dots$