Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{e^{2 x} - 1}{\sin (3 x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (lim_{x \to 8} 3 x)}$

Étape 7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $e^{2 \cdot 8}$ comme ${(e^{8})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1^{2}}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{8}$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{8} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4

Simplifiez

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Étape 9.1.4.1

Réécrivez $e^{8}$ comme ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1^{2})}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{4}$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{4} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4.4

Simplifiez

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Étape 9.1.4.4.1

Réécrivez $e^{4}$ comme ${(e^{2})}^{2}$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2}))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4.4.4

Simplifiez

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Étape 9.1.4.4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})))}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.1.4.4.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (24)}$

Étape 9.2.2

Évaluez $\sin (24)$ .

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.3

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{({2.71828182}^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.4

Élevez $2.71828182$ à la puissance $8$ .

$\frac{(2980.95798704 + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.5

Additionnez $2980.95798704$ et $1$ .

$\frac{2981.95798704 (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{2981.95798704 ({2.71828182}^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $4$ .

$\frac{2981.95798704 (54.59815003 + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.8

Additionnez $54.59815003$ et $1$ .

$\frac{2981.95798704 \cdot 55.59815003 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.9

Multipliez $2981.95798704$ par $55.59815003$ .

$\frac{165791.34755607 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.10

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{165791.34755607 ({2.71828182}^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.11

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2$ .

$\frac{165791.34755607 (7.38905609 + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.12

Additionnez $7.38905609$ et $1$ .

$\frac{165791.34755607 \cdot 8.38905609 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.13

Multipliez $165791.34755607$ par $8.38905609$ .

$\frac{1390832.91536521 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.14

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{1390832.91536521 (2.71828182 + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.15

Additionnez $2.71828182$ et $1$ .

$\frac{1390832.91536521 \cdot 3.71828182 (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.16

Multipliez $1390832.91536521$ par $3.71828182$ .

$\frac{5171508.75562519 (e - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.17

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{5171508.75562519 (2.71828182 - 1)}{0.40673664}$

Étape 9.18

Soustrayez $1$ de $2.71828182$ .

$\frac{5171508.75562519 \cdot 1.71828182}{0.40673664}$

Étape 9.19

Multipliez $5171508.75562519$ par $1.71828182$ .

$\frac{8886109.52050758}{0.40673664}$

Étape 9.20

Divisez $8886109.52050758$ par $0.40673664$ .

$21847329.64630275$