Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\cos^{2} (x)}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\cos^{2} (8)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\cos^{2} (8)}{\sqrt{8}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Évaluez $\cos (8)$ .

$\frac{{0.99026806}^{2}}{\sqrt{8}}$

Étape 6.1.2

Élevez $0.99026806$ à la puissance $2$ .

$\frac{0.98063084}{\sqrt{8}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{0.98063084}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0.98063084}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 6.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 6.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.5

Multipliez $0.98063084$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{1.38682144}{2 \cdot 2}$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1.38682144}{4}$

Étape 6.7

Divisez $1.38682144$ par $4$ .

$0.34670536$