Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{3 (x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{3 (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 8} \frac{3 (x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{3 (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 8} \frac{(x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{(x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{7} - 11 \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x^{7} - lim_{x \to 8} 11) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $7$ de $x^{7}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - lim_{x \to 8} 11) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 6

Évaluez la limite de $11$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 9

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{lim_{x \to 8} x^{n} - 8 \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{(lim_{x \to 8} x^{n} - lim_{x \to 8} 8) \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $n$ de $x^{n}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - lim_{x \to 8} 8) \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

Étape 13

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 18)}$

Étape 15

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 18)}$

Étape 16

Évaluez la limite de $18$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

Étape 17

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 17.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

Étape 17.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (8^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

Étape 17.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

Étape 17.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

Étape 18

Simplifiez la réponse.

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Étape 18.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1.1

Élevez $8$ à la puissance $7$ .

$\frac{(2097152 - 1 \cdot 11) (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

Étape 18.1.2

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$\frac{(2097152 - 11) (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

Étape 18.1.3

Soustrayez $11$ de $2097152$ .

$\frac{2097141 (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

Étape 18.1.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2097141 (64 + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

Étape 18.1.5

Additionnez $64$ et $5$ .

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

Étape 18.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 8) (8^{3} + 18)}$

Étape 18.2.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 8) (512 + 18)}$

Étape 18.2.3

Additionnez $512$ et $18$ .

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 8) \cdot 530}$

Étape 18.3

Multipliez $2097141$ par $69$ .

$\frac{144702729}{(8^{n} - 8) \cdot 530}$

Étape 18.4

Déplacez $530$ à gauche de $8^{n} - 8$ .

$\frac{144702729}{530 (8^{n} - 8)}$