Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - 5 x + 1}{7 x + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - 5 x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + 2 x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 5

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 1}$

Étape 12

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Étape 13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Étape 14.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.2

Multipliez $16$ par $64$ .

$\frac{\sqrt{1024 + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{\sqrt{1024 + 16 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.4

Additionnez $1024$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{1040 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.5

Additionnez $1040$ et $8$ .

$\frac{\sqrt{1048} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.6

Réécrivez $1048$ comme $2^{2} \cdot 262$ .

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Étape 15.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $1048$ .

$\frac{\sqrt{4 (262)} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 262} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{262} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.8

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 40 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.1.9

Additionnez $- 40$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{7 \cdot 8 + 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{56 + 1}$

Étape 15.2.2

Additionnez $56$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{57}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{57}$

Forme décimale :

$- 0.11626617 \dots$