Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

Étape 9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Étape 11.2

Factorisez $\sin (3 \cdot 8)$ à partir de $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Étape 11.3

Séparez les fractions.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

Étape 11.4

Réécrivez $\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ comme un produit.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Étape 11.5

Écrivez $\sin (3 \cdot 8)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Divisez $\sin (3 \cdot 8)$ par $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Étape 11.6.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ à $\csc (5 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Étape 11.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.7.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Étape 11.7.2

Évaluez $\sin (24)$ .

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Étape 11.8

Divisez $0.40673664$ par $8$ .

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Étape 11.9

Multipliez $3$ par $8$ .

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

Étape 11.10

Évaluez $\sin (24)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

Étape 11.11

Multipliez $5$ par $8$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

Étape 11.12

Évaluez $\csc (40)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

Étape 11.13

Multipliez $0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ .

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Étape 11.13.1

Multipliez $0.40673664$ par $1.55572382$ .

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

Étape 11.13.2

Multipliez $0.05084208$ par $0.63276988$ .

$0.03217133$