Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2} \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{(\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 10

Placez la limite sous le radical.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{(\sqrt{40} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12.1.2

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 12.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$\frac{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12.1.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12.1.4

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12.1.6

Soustrayez $2$ de $40$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 12.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 12.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{2 \sqrt{2}}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Étape 12.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 (\sqrt{2})}$

Étape 12.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Étape 12.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Étape 12.4

Déplacez $4$ à gauche de $2 \sqrt{10} - \sqrt{38}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$

Étape 12.5

Multipliez $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 12.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.6.1

Multipliez $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 12.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 12.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 12.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 12.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 12.6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 12.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 12.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2}$

Étape 12.7

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2}$

Étape 12.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 12.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 12.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{1}$

Étape 12.7.2.4

Divisez $2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ par $1$ .

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Étape 12.8

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (2 \sqrt{10}) + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Étape 12.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 \sqrt{10} + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Étape 12.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Étape 12.11

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Étape 12.12

Multipliez $4 \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

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Étape 12.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Étape 12.12.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Étape 12.13

Multipliez $- 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$ .

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Étape 12.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2 \cdot 38}$

Étape 12.13.2

Multipliez $2$ par $38$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{76}$

Étape 12.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.14.1

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 12.14.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{76}$

Étape 12.14.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{76}$

Étape 12.14.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{76}$

Étape 12.14.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{76}$

Étape 12.14.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 12.14.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{4 (19)}$

Étape 12.14.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Étape 12.14.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 \sqrt{5} - 2 (2 \sqrt{19})$

Étape 12.14.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Forme décimale :

$0.45294804 \dots$