Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 7.999} \frac{(\frac{x}{x + 1}) - \frac{8}{9}}{x - 8}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{lim_{x \to 7.999} (\frac{x}{x + 1}) - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{lim_{x \to 7.999} \frac{x}{x + 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + lim_{x \to 7.999} 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Étape 6

Évaluez la limite de $\frac{8}{9}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - lim_{x \to 7.999} 8}$

Étape 8

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 1 \cdot 8}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $7.999$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $7.999$ pour $x$ .

$\frac{\frac{7.999}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 1 \cdot 8}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $7.999$ pour $x$ .

$\frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 1 \cdot 8}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $7.999$ pour $x$ .

$\frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{7.999 - 1 \cdot 8}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(7.999 + 1) \cdot 9$ .

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Étape 10.1.1

Multipliez $\frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{7.999 - 1 \cdot 8}$ par $\frac{(7.999 + 1) \cdot 9}{(7.999 + 1) \cdot 9}$ .

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9}{(7.999 + 1) \cdot 9} \cdot \frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{7.999 - 1 \cdot 8}$

Étape 10.1.2

Associez.

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9 (\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 (7.999 - 1 \cdot 8)}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9 \frac{7.999}{7.999 + 1} + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun de $7.999 + 1$ .

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Étape 10.3.1.1

Factorisez $7.999 + 1$ à partir de $(7.999 + 1) \cdot 9$ .

$\frac{(7.999 + 1) (9) \frac{7.999}{7.999 + 1} + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9 \frac{7.999}{7.999 + 1} + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3.2

Multipliez $9$ par $7.999$ .

$\frac{71.991 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 10.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{71.991 + (7.999 + 1) \cdot 9 \frac{- 8}{9}}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3.3.2

Factorisez $9$ à partir de $(7.999 + 1) \cdot 9$ .

$\frac{71.991 + 9 \cdot (7.999 + 1) \frac{- 8}{9}}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{71.991 + 9 \cdot (7.999 + 1) \frac{- 8}{9}}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{71.991 + (7.999 + 1) \cdot - 8}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Additionnez $7.999$ et $1$ .

$\frac{71.991 + 8.999 \cdot - 8}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.4.2

Multipliez $8.999$ par $- 8$ .

$\frac{71.991 - 71.992}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.4.3

Soustrayez $71.992$ de $71.991$ .

$\frac{- 0.001}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.5.1

Additionnez $7.999$ et $1$ .

$\frac{- 0.001}{8.999 \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.5.2

Multipliez $8.999 \cdot 9 \cdot 7.999$ .

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Étape 10.5.2.1

Multipliez $8.999$ par $9$ .

$\frac{- 0.001}{80.991 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.5.2.2

Multipliez $80.991$ par $7.999$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.5.3

Additionnez $7.999$ et $1$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + 8.999 \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.5.4

Multipliez $8.999 \cdot 9 (- 1 \cdot 8)$ .

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Étape 10.5.4.1

Multipliez $8.999$ par $9$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + 80.991 (- 1 \cdot 8)}$

Étape 10.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + 80.991 \cdot - 8}$

Étape 10.5.4.3

Multipliez $80.991$ par $- 8$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 - 647.928}$

Étape 10.5.5

Soustrayez $647.928$ de $647.847009$ .

$\frac{- 0.001}{- 0.080991}$

Étape 10.6

Divisez $- 0.001$ par $- 0.080991$ .

$0.01234705$