Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{3} + 8}{4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 3}}$

Étape 9

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + 3}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + lim_{x \to 8} 3}}$

Étape 11

Placez le terme $64$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 lim_{x \to 8} x^{6} + lim_{x \to 8} 3}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $6$ de $x^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + lim_{x \to 8} 3}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 3}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 3}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 3}}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 3}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot 512 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 3}}$

Étape 15.1.2

Multipliez $2$ par $512$ .

$\frac{1024 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 3}}$

Étape 15.1.3

Additionnez $1024$ et $8$ .

$\frac{1032}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 3}}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{1032}{4 \cdot 512 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 3}}$

Étape 15.2.2

Multipliez $4$ par $512$ .

$\frac{1032}{2048 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 3}}$

Étape 15.2.3

Élevez $8$ à la puissance $6$ .

$\frac{1032}{2048 + \sqrt{64 \cdot 262144 + 3}}$

Étape 15.2.4

Multipliez $64$ par $262144$ .

$\frac{1032}{2048 + \sqrt{16777216 + 3}}$

Étape 15.2.5

Additionnez $16777216$ et $3$ .

$\frac{1032}{2048 + \sqrt{16777219}}$

Étape 15.3

Multipliez $\frac{1032}{2048 + \sqrt{16777219}}$ par $\frac{2048 - \sqrt{16777219}}{2048 - \sqrt{16777219}}$ .

$\frac{1032}{2048 + \sqrt{16777219}} \cdot \frac{2048 - \sqrt{16777219}}{2048 - \sqrt{16777219}}$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{1032}{2048 + \sqrt{16777219}}$ par $\frac{2048 - \sqrt{16777219}}{2048 - \sqrt{16777219}}$ .

$\frac{1032 (2048 - \sqrt{16777219})}{(2048 + \sqrt{16777219}) (2048 - \sqrt{16777219})}$

Étape 15.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1032 (2048 - \sqrt{16777219})}{4194304 - 2048 \sqrt{16777219} + \sqrt{16777219} \cdot 2048 - {\sqrt{16777219}}^{2}}$

Étape 15.6

Simplifiez

$\frac{1032 (2048 - \sqrt{16777219})}{- 12582915}$

Étape 15.7

Annulez le facteur commun à $1032$ et $- 12582915$ .

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Étape 15.7.1

Factorisez $3$ à partir de $1032 (2048 - \sqrt{16777219})$ .

$\frac{3 (344 (2048 - \sqrt{16777219}))}{- 12582915}$

Étape 15.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12582915$ .

$\frac{3 (344 (2048 - \sqrt{16777219}))}{3 (- 4194305)}$

Étape 15.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (344 (2048 - \sqrt{16777219}))}{3 \cdot - 4194305}$

Étape 15.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{344 (2048 - \sqrt{16777219})}{- 4194305}$

Étape 15.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{344 (2048 - \sqrt{16777219})}{4194305}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{344 (2048 - \sqrt{16777219})}{4194305}$

Forme décimale :

$0.16796873 \dots$