Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{32 x^{4} - x^{3} + x + 12}{8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 32 x^{4} - x^{3} + x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 32 x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Étape 3

Placez le terme $32$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{32 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Étape 6

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 8

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 13

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}$

Étape 14

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Étape 15.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Étape 15.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Étape 15.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Étape 15.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{32 \cdot 4096 - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.1.2

Multipliez $32$ par $4096$ .

$\frac{131072 - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.1.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{131072 - 1 \cdot 512 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.1.4

Multipliez $- 1$ par $512$ .

$\frac{131072 - 512 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.1.5

Soustrayez $512$ de $131072$ .

$\frac{130560 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.1.6

Additionnez $130560$ et $8$ .

$\frac{130568 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.1.7

Additionnez $130568$ et $12$ .

$\frac{130580}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1

Multipliez $8$ par $8^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.1.1

Multipliez $8$ par $8^{4}$ .

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Étape 16.2.1.1.1

Élevez $8$ à la puissance $1$ .

$\frac{130580}{8^{1} \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{130580}{8^{1 + 4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{130580}{8^{5} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2.2

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$\frac{130580}{32768 + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{130580}{32768 + 2 \cdot 512 + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2.4

Multipliez $2$ par $512$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 64 + 5 \cdot 8 + 2}$

Étape 16.2.6

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 64 + 40 + 2}$

Étape 16.2.7

Additionnez $32768$ et $1024$ .

$\frac{130580}{33792 + 64 + 40 + 2}$

Étape 16.2.8

Additionnez $33792$ et $64$ .

$\frac{130580}{33856 + 40 + 2}$

Étape 16.2.9

Additionnez $33856$ et $40$ .

$\frac{130580}{33896 + 2}$

Étape 16.2.10

Additionnez $33896$ et $2$ .

$\frac{130580}{33898}$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun à $130580$ et $33898$ .

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Étape 16.3.1

Factorisez $2$ à partir de $130580$ .

$\frac{2 (65290)}{33898}$

Étape 16.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $33898$ .

$\frac{2 \cdot 65290}{2 \cdot 16949}$

Étape 16.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 65290}{2 \cdot 16949}$

Étape 16.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{65290}{16949}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{65290}{16949}$

Forme décimale :

$3.85214466 \dots$