Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} {(- 3)}^{x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8}}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1}}{\sqrt{8}}}$

Étape 8.1.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{7}}{\sqrt{8}}}$

Étape 8.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $7$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{8}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{4 (2)}}}$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

Étape 8.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{\frac{- 2187}{2 \sqrt{2}}}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{- \frac{2187}{2 \sqrt{2}}}$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- (\frac{2187}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Étape 8.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Étape 8.5.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

Étape 8.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

Étape 8.5.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

Étape 8.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Étape 8.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 8.5.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 8.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 8.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 8.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 8.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}}$

Étape 8.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 8.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Étape 8.7

Réécrivez $- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}$ comme ${(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})$ .

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Étape 8.7.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Étape 8.7.2

Factorisez la puissance parfaite $27^{2}$ dans $2187 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{4}}$

Étape 8.7.3

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 8.7.4

Réorganisez la fraction $\frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{27}{2})}^{2} (3 \sqrt{2}))}$

Étape 8.7.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{27}{2})}^{2}$ comme ${(\frac{27 i}{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot 3 \sqrt{2}}$

Étape 8.7.6

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}$

Étape 8.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{27 i}{2} \sqrt{3 \sqrt{2}}$

Étape 8.9

Associez $\frac{27 i}{2}$ et $\sqrt{3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{27 i \sqrt{3 \sqrt{2}}}{2}$