Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})$

Étape 1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{\frac{1}{x}})$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x)}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (x)})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (x)})$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\ln (e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\ln (e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Étape 3.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\ln (e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\ln (e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (8)})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{1}{8} \cdot \ln (8)$ de l’exposant.

$\frac{1}{8} \cdot \ln (8) \ln (e)$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{1}{8} \ln (8)$ en déplaçant $\frac{1}{8}$ dans le logarithme.

$\ln (8^{\frac{1}{8}}) \ln (e)$

Étape 5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (8^{\frac{1}{8}}) \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $\ln (8^{\frac{1}{8}})$ par $1$ .

$\ln (8^{\frac{1}{8}})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (8^{\frac{1}{8}})$

Forme décimale :

$0.25993019 \dots$