Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 10

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Étape 12

Placez la limite sous le radical.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

Étape 13

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Étape 14

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Étape 15

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Étape 16

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 16.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Étape 16.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Étape 16.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Étape 16.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

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Étape 17.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.1.2

Multipliez $4$ par $64$ .

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.1.4

Soustrayez $16$ de $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2.3

Multipliez $4$ par $64$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2.4

Additionnez $4096$ et $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2.5

Réécrivez $4352$ comme $16^{2} \cdot 17$ .

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Étape 17.2.5.1

Factorisez $256$ à partir de $4352$ .

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2.5.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Étape 17.2.7

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

Étape 17.2.8

Additionnez $4096$ et $16$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

Étape 17.2.9

Réécrivez $4112$ comme $4^{2} \cdot 257$ .

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Étape 17.2.9.1

Factorisez $16$ à partir de $4112$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

Étape 17.2.9.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

Étape 17.2.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

Étape 17.2.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Étape 17.3

Annulez le facteur commun à $240$ et $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ .

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Étape 17.3.1

Factorisez $4$ à partir de $240$ .

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Étape 17.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16 \sqrt{17}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

Étape 17.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{257}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

Étape 17.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Étape 17.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Étape 17.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

Étape 17.4

Multipliez $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ par $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

Étape 17.5

Multipliez $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ par $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

Étape 17.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

Étape 17.7

Simplifiez

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

Étape 17.8

Annulez le facteur commun à $60$ et $15$ .

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Étape 17.8.1

Factorisez $15$ à partir de $60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

Étape 17.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.8.2.1

Factorisez $15$ à partir de $15$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

Étape 17.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

Étape 17.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

Étape 17.8.2.4

Divisez $4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ par $1$ .

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

Étape 17.9

Appliquez la propriété distributive.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

Étape 17.10

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Forme décimale :

$130.09456817 \dots$