Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{- 6 x}{x^{2} - \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Étape 1

Placez le terme $- 6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 6 lim_{x \to - 8} \frac{x}{x^{2} - \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{2} - \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - 6 x}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 6 x}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 6 x}}$

Étape 8

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(- 8)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(- 8)}^{2} - \sqrt{{(- 8)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(- 8)}^{2} - \sqrt{{(- 8)}^{2} - 6 \cdot - 8}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{{(- 8)}^{2} - 6 \cdot - 8}}$

Étape 10.1.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{64 - 6 \cdot - 8}}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 8$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{64 + 48}}$

Étape 10.1.4

Additionnez $64$ et $48$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{112}}$

Étape 10.1.5

Réécrivez $112$ comme $4^{2} \cdot 7$ .

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Étape 10.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $112$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{16 (7)}}$

Étape 10.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{4^{2} \cdot 7}}$

Étape 10.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 6 \frac{- 8}{64 - (4 \sqrt{7})}$

Étape 10.1.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - 4 \sqrt{7}}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $64 - 4 \sqrt{7}$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$- 6 \frac{4 (- 2)}{64 - 4 \sqrt{7}}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 16 - 4 \sqrt{7}}$

Étape 10.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{7}$ .

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 16 + 4 (- \sqrt{7})}$

Étape 10.2.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (16) + 4 (- \sqrt{7})$ .

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 (16 - \sqrt{7})}$

Étape 10.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 (16 - \sqrt{7})}$

Étape 10.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$- 6 \frac{- 2}{16 - \sqrt{7}}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 6 (- \frac{2}{16 - \sqrt{7}})$

Étape 10.4

Multipliez $\frac{2}{16 - \sqrt{7}}$ par $\frac{16 + \sqrt{7}}{16 + \sqrt{7}}$ .

$- 6 (- (\frac{2}{16 - \sqrt{7}} \cdot \frac{16 + \sqrt{7}}{16 + \sqrt{7}}))$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{2}{16 - \sqrt{7}}$ par $\frac{16 + \sqrt{7}}{16 + \sqrt{7}}$ .

$- 6 (- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{(16 - \sqrt{7}) (16 + \sqrt{7})})$

Étape 10.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- 6 (- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{256 + 16 \sqrt{7} - 16 \sqrt{7} - {\sqrt{7}}^{2}})$

Étape 10.7

Simplifiez

$- 6 (- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{249})$

Étape 10.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{249}$ dans le numérateur.

$- 6 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{249}$

Étape 10.8.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{249}$

Étape 10.8.3

Factorisez $3$ à partir de $249$ .

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{3 \cdot 83}$

Étape 10.8.4

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{3 \cdot 83}$

Étape 10.8.5

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{83}$

Étape 10.9

Associez $- 2$ et $\frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{83}$ .

$\frac{- 2 (- 2 (16 + \sqrt{7}))}{83}$

Étape 10.10

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{4 (16 + \sqrt{7})}{83}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 (16 + \sqrt{7})}{83}$

Forme décimale :

$0.89859042 \dots$