Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \sqrt{\frac{8 x^{2}}{9 + x}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 5} \frac{8 x^{2}}{9 + x}}$

Étape 2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{8 lim_{x \to 5} \frac{x^{2}}{9 + x}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\sqrt{8 \frac{lim_{x \to 5} x^{2}}{lim_{x \to 5} 9 + x}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{8 \frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2}}{lim_{x \to 5} 9 + x}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\sqrt{8 \frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2}}{lim_{x \to 5} 9 + lim_{x \to 5} x}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\sqrt{8 \frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2}}{9 + lim_{x \to 5} x}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\sqrt{8 \frac{5^{2}}{9 + lim_{x \to 5} x}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\sqrt{8 \frac{5^{2}}{9 + 5}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $8$ et $\frac{5^{2}}{9 + 5}$ .

$\sqrt{\frac{8 \cdot 5^{2}}{9 + 5}}$

Étape 8.2

Additionnez $9$ et $5$ .

$\sqrt{\frac{8 \cdot 5^{2}}{14}}$

Étape 8.3

Réduisez l’expression $\frac{8 \cdot 5^{2}}{14}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \cdot 5^{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 (4 \cdot 5^{2})}{14}}$

Étape 8.3.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\sqrt{\frac{2 (4 \cdot 5^{2})}{2 (7)}}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 (4 \cdot 5^{2})}{2 \cdot 7}}$

Étape 8.3.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{2}}{7}}$

Étape 8.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 25}{7}}$

Étape 8.5

Multipliez $4$ par $25$ .

$\sqrt{\frac{100}{7}}$

Étape 8.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{100}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{7}}$

Étape 8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.7.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{7}}$

Étape 8.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{10}{\sqrt{7}}$

Étape 8.8

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 8.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.9.1

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{10 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 8.9.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 8.9.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 8.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 8.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 8.9.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 8.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{10 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 8.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{10 \sqrt{7}}{7}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10 \sqrt{7}}{7}$

Forme décimale :

$3.77964473 \dots$