Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 3 x - 10}{5 x^{2} - 10 x + 25}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Étape 5

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x + lim_{x \to 5} 25}$

Étape 7

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x + lim_{x \to 5} 25}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 10 x + lim_{x \to 5} 25}$

Étape 9

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}$

Étape 10

Évaluez la limite de $25$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun à $5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10$ et $5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25$ .

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Étape 12.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $5^{2}$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2}) - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cdot 5$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2}) - (3 \cdot 5) - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5^{2}) - (3 \cdot 5)$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5) - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 10$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5) - 1 (10)}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5) - 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5 + 10)}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12.1.6

Factorisez $5$ à partir de $- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5 + 10)$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12.1.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.7.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 5^{2}$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2}) - 10 \cdot 5 + 25}$

Étape 12.1.7.2

Factorisez $5$ à partir de $- 10 \cdot 5$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2}) + 5 (- 2 \cdot 5) + 25}$

Étape 12.1.7.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (5^{2}) + 5 (- 2 \cdot 5)$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5) + 25}$

Étape 12.1.7.4

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5) + 5 (5)}$

Étape 12.1.7.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (5^{2} - 2 \cdot 5) + 5 (5)$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5 + 5)}$

Étape 12.1.7.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5 + 5)}$

Étape 12.1.7.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2)}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Étape 12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 1 (- 5 + 3 + 2)}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Étape 12.2.2

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Étape 12.2.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Étape 12.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{25 - 2 \cdot 5 + 5}$

Étape 12.3.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{25 - 10 + 5}$

Étape 12.3.3

Soustrayez $10$ de $25$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{15 + 5}$

Étape 12.3.4

Additionnez $15$ et $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{20}$

Étape 12.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{20}$

Étape 12.5

Divisez $0$ par $20$ .

$0$