Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) \cdot (x - 5)}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à ${(x - 5)}^{3}$ et $x - 5$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x - 5$ à partir de ${(x - 5)}^{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) {(x - 5)}^{2}}{\sin (x - 5) \cdot (x - 5)}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $\sin (x - 5) \cdot (x - 5)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) {(x - 5)}^{2}}{(x - 5) \cdot \sin (x - 5)}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) {(x - 5)}^{2}}{(x - 5) \cdot \sin (x - 5)}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{\sin (x - 5)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - 5)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Étape 2.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Étape 2.1.3.1.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 - 1 \cdot 5)}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{\sin (5 - 5)}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 2.1.3.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{\sin (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.2

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.3

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 5) - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.4.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.4.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 10 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.7

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.10

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.11

Additionnez $2 x - 10$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Étape 2.3.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 2.3.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.12.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 2.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Étape 2.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Étape 2.3.15

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) (1 + 0)}$

Étape 2.3.16

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) \cdot 1}$

Étape 2.3.17

Multipliez $\cos (x - 5)$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Étape 3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Étape 3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 10}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{10 - 10}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $10$ de $10$ .

$\frac{0}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{\cos (5 - 5)}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Étape 5.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 5.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$