Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - 5)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} {(x - 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - 3)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot lim_{x \to 5} {(x - 8)}^{2}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - 8)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 8)}^{2}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 8)}^{2}}$

Étape 11

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 13.1.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0^{2}}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 13.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{{(5 - 1 \cdot 3)}^{2} \cdot {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{{(5 - 3)}^{2} {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{0}{2^{2} {(5 - 1 \cdot 8)}^{2}}$

Étape 13.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{0}{2^{2} {(5 - 8)}^{2}}$

Étape 13.2.4

Soustrayez $8$ de $5$ .

$\frac{0}{2^{2} {(- 3)}^{2}}$

Étape 13.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 {(- 3)}^{2}}$

Étape 13.2.6

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 \cdot 9}$

Étape 13.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{0}{36}$

Étape 13.4

Divisez $0$ par $36$ .

$0$