Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} {(\frac{2 x^{2} + 2 x + 4}{6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $\frac{1}{3}$ de ${(\frac{2 x^{2} + 2 x + 4}{6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} + 2 x + 4}{6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

${(\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 2 x + 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

${(\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{lim_{x \to 5} 6 x - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{lim_{x \to 5} 6 x - lim_{x \to 5} 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 9

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{6 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

${(\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{6 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

${(\frac{2 \cdot 5^{2} + 2 lim_{x \to 5} x + 4}{6 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

${(\frac{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 + 4}{6 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

${(\frac{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(\frac{2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.1.2

Multipliez $2$ par $25$ .

${(\frac{50 + 2 \cdot 5 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.1.3

Multipliez $2$ par $5$ .

${(\frac{50 + 10 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.1.4

Additionnez $50$ et $10$ .

${(\frac{60 + 4}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.1.5

Additionnez $60$ et $4$ .

${(\frac{64}{6 \cdot 5 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez $6$ par $5$ .

${(\frac{64}{30 - 1 \cdot 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${(\frac{64}{30 - 3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.2.3

Soustrayez $3$ de $30$ .

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{64}{27}$ .

$\frac{64^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.4.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{4}{27^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.5.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{4}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 12.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 12.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3^{1}}$

Étape 12.5.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{4}{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{3}$