Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 6} (\sqrt{6 x} + 3 x - \frac{1}{x}) (x^{2} - 4)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$lim_{x \to 6} \sqrt{6 x} + 3 x - \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$(lim_{x \to 6} \sqrt{6 x} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$(\sqrt{lim_{x \to 6} 6 x} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Étape 4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot (lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 4)$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 4)$

Étape 10

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $6$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$(\sqrt{36} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.1.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$(\sqrt{6^{2}} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$(6 + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.1.4

Multipliez $3$ par $6$ .

$(6 + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.1

Écrivez $6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$(\frac{6}{1} + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.2.2

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6}{1} \cdot \frac{6}{6} + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.2.4

Écrivez $18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{18}{1} - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.2.5

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{18}{1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.2.6

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{18 \cdot 6}{6} - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \cdot 6 + 18 \cdot 6 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 + 18 \cdot 6 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.4.2

Multipliez $18$ par $6$ .

$\frac{36 + 108 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.5

Additionnez $36$ et $108$ .

$\frac{144 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.6

Soustrayez $1$ de $144$ .

$\frac{143}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Étape 12.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.7.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{143}{6} \cdot (36 - 1 \cdot 4)$

Étape 12.7.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{143}{6} \cdot (36 - 4)$

Étape 12.8

Soustrayez $4$ de $36$ .

$\frac{143}{6} \cdot 32$

Étape 12.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.9.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{143}{2 (3)} \cdot 32$

Étape 12.9.2

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{143}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16)$

Étape 12.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{143}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16)$

Étape 12.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{143}{3} \cdot 16$

Étape 12.10

Associez $\frac{143}{3}$ et $16$ .

$\frac{143 \cdot 16}{3}$

Étape 12.11

Multipliez $143$ par $16$ .

$\frac{2288}{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2288}{3}$

Forme décimale :

$762.\overline{6}$