Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{6 x - 21 x^{3} + 11}{\sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - 21 x^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 21 x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Étape 3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 21 x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Étape 4

Placez le terme $21$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $11$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}$

Étape 8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}$

Étape 9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Multipliez $6$ par $8$ .

$\frac{48 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.1.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{48 - 21 \cdot 512 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.1.3

Multipliez $- 21$ par $512$ .

$\frac{48 - 10752 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.1.4

Soustrayez $10752$ de $48$ .

$\frac{- 10704 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.1.5

Additionnez $- 10704$ et $11$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{4 (2)} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 8^{3}}$

Étape 12.2.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 512}$

Étape 12.2.4

Multipliez $3$ par $512$ .

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$

Étape 12.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$

Étape 12.4

Multipliez $\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$ par $\frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536}$ .

$- (\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536} \cdot \frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536})$

Étape 12.5

Multipliez $\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$ par $\frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536}$ .

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{(2 \sqrt{2} + 1536) (2 \sqrt{2} - 1536)}$

Étape 12.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{4 {\sqrt{2}}^{2} - 3072 \sqrt{2} + 3072 \sqrt{2} - 2359296}$

Étape 12.7

Simplifiez

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{- 2359288}$

Étape 12.8

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 1536$ et $- 2359288$ .

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Étape 12.8.1

Factorisez $2$ à partir de $10693 (2 \sqrt{2} - 1536)$ .

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{- 2359288}$

Étape 12.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2359288$ .

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{2 (- 1179644)}$

Étape 12.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{2 \cdot - 1179644}$

Étape 12.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{- 1179644}$

Étape 12.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Étape 12.10

Multipliez $- - \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$ .

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Étape 12.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Étape 12.10.2

Multipliez $\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$ par $1$ .

$\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Forme décimale :

$- 6.94879286 \dots$