Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{64}{x^{4}} \cdot (\frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{64}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Étape 2

Placez le terme $64$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$64 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$64 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$64 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{16}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} lim_{x \to 8} x^{2} {(x + 1)}^{2}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} lim_{x \to 8} x^{2} \cdot lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{2}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{2}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}^{2}$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$64 \frac{1}{8^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$64 \frac{1}{8^{4}} \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$64 \frac{1}{8^{4}} \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $16$ à partir de $64 \frac{1}{8^{4}}$ .

$16 (4 \frac{1}{8^{4}}) \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.1.2

Annulez le facteur commun.

$16 (4 \frac{1}{8^{4}}) \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{1}{8^{4}} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.2

Associez $4$ et $\frac{1}{8^{4}}$ .

$\frac{4}{8^{4}} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.3

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{4}{4096} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $4096$ .

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Étape 13.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1)}{4096} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4096$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 1024} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 1024} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1024} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1024} \cdot 64 \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.6

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 13.6.1

Factorisez $64$ à partir de $1024$ .

$\frac{1}{64 (16)} \cdot 64 \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{64 \cdot 16} \cdot 64 \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{16} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Étape 13.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot 9^{2}$

Étape 13.8

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{16} \cdot 81$

Étape 13.9

Associez $\frac{1}{16}$ et $81$ .

$\frac{81}{16}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{81}{16}$

Forme décimale :

$5.0625$