Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} - \frac{6}{5 x^{3} \sqrt{x}}$

Étape 1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 8} \frac{6}{5 x^{3} \sqrt{x}}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{6}{5}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{6}{5} lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{3} \sqrt{x}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{3} \sqrt{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{3} \sqrt{x}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{3} \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{8^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{8^{3} \cdot \sqrt{8}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{8}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{4 (2)}}$

Étape 9.1.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 9.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \cdot 2 \sqrt{2}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $512$ par $2$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{1024 \sqrt{2}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{1024 \sqrt{2}}$

Étape 9.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{1024 \sqrt{2}}$

Étape 9.2.3

Factorisez $2$ à partir de $1024 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{2 (512 \sqrt{2})}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{2 (512 \sqrt{2})}$

Étape 9.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{2}}$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{- 3}{5}$ par $\frac{1}{512 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 3}{5 (512 \sqrt{2})}$

Étape 9.4

Multipliez $512$ par $5$ .

$\frac{- 3}{2560 \sqrt{2}}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2560 \sqrt{2}}$

Étape 9.6

Multipliez $\frac{3}{2560 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{3}{2560 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 9.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.7.1

Multipliez $\frac{3}{2560 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.7.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 9.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 9.7.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 9.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.7.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.7.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.7.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.7.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.7.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.7.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.7.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{1}}$

Étape 9.7.7.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2}$

Étape 9.8

Multipliez $2560$ par $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{5120}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 \sqrt{2}}{5120}$

Forme décimale :

$- 0.00082864 \dots$