Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 3 x + 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} + x}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot - 8 + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot - 8 + 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} + lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot - 8 + 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 8}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{- 24 + 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 8}}$

Étape 9.1.2

Additionnez $- 24$ et $1$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 8}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{64 - 8}}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $8$ de $64$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{56}}$

Étape 9.2.3

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{4 (14)}}$

Étape 9.2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{2^{2} \cdot 14}}$

Étape 9.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- 23}{2 \sqrt{14}}$

Étape 9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{23}{2 \sqrt{14}}$

Étape 9.4

Multipliez $\frac{23}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$- (\frac{23}{2 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}})$

Étape 9.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.5.1

Multipliez $\frac{23}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Étape 9.5.2

Déplacez $\sqrt{14}$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 9.5.3

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 ({\sqrt{14}}^{1} \sqrt{14})}$

Étape 9.5.4

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 ({\sqrt{14}}^{1} {\sqrt{14}}^{1})}$

Étape 9.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Étape 9.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{2}}$

Étape 9.5.7

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 9.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{1}}$

Étape 9.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{23 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Étape 9.6

Multipliez $2$ par $14$ .

$- \frac{23 \sqrt{14}}{28}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{23 \sqrt{14}}{28}$

Forme décimale :

$- 3.07350428 \dots$