Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{3} + 2 x - 9}{2 x^{4} - 9 x^{3} - 9}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{3} + 2 x - 9}{lim_{x \to 8} 2 x^{4} - 9 x^{3} - 9}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{3} + lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 2 x^{4} - 9 x^{3} - 9}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 2 x^{4} - 9 x^{3} - 9}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 2 x^{4} - 9 x^{3} - 9}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 2 x^{4} - 9 x^{3} - 9}$

Étape 6

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 8} 2 x^{4} - 9 x^{3} - 9}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 8} 2 x^{4} - lim_{x \to 8} 9 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{2 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 9 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 9 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}$

Étape 10

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 9 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 9}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 9}$

Étape 12

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 2 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 2 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{2 \cdot 8^{4} - 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 13.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 2 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{2 \cdot 8^{4} - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 \cdot 512 + 2 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{2 \cdot 8^{4} - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.1.2

Multipliez $3$ par $512$ .

$\frac{1536 + 2 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{2 \cdot 8^{4} - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.1.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{1536 + 16 - 1 \cdot 9}{2 \cdot 8^{4} - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{1536 + 16 - 9}{2 \cdot 8^{4} - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.1.5

Additionnez $1536$ et $16$ .

$\frac{1552 - 9}{2 \cdot 8^{4} - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.1.6

Soustrayez $9$ de $1552$ .

$\frac{1543}{2 \cdot 8^{4} - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{1543}{2 \cdot 4096 - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.2.2

Multipliez $2$ par $4096$ .

$\frac{1543}{8192 - 9 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}$

Étape 14.2.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{1543}{8192 - 9 \cdot 512 - 1 \cdot 9}$

Étape 14.2.4

Multipliez $- 9$ par $512$ .

$\frac{1543}{8192 - 4608 - 1 \cdot 9}$

Étape 14.2.5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{1543}{8192 - 4608 - 9}$

Étape 14.2.6

Soustrayez $4608$ de $8192$ .

$\frac{1543}{3584 - 9}$

Étape 14.2.7

Soustrayez $9$ de $3584$ .

$\frac{1543}{3575}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1543}{3575}$

Forme décimale :

$0.43160839 \dots$