Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{3 + 5 e^{x}}{\frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 + 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 10

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + lim_{x \to 8} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 14

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 lim_{x \to 8} e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 15

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{lim_{x \to 8} 2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 16

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

Étape 17

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x}}}}$

Étape 18

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x}}}}$

Étape 19

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} e^{2 x}}}}$

Étape 20

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{lim_{x \to 8} 2 x}}}}$

Étape 21

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Étape 22

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 22.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Étape 22.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Étape 22.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Étape 22.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Étape 22.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

Étape 22.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}}$

Étape 23

Simplifiez la réponse.

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Étape 23.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Étape 23.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Étape 23.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 23.3.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Étape 23.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

Étape 23.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}}{24 + 5 e^{8}}$

Étape 23.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(3 + 5 e^{8}) (\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}} \cdot \frac{1}{24 + 5 e^{8}})$

Étape 23.6

Multipliez $\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}$ par $\frac{1}{24 + 5 e^{8}}$ .

$(3 + 5 e^{8}) \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.7

Appliquez la propriété distributive.

$3 \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + 5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.8

Associez $3$ et $\frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + 5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.9

Multipliez $5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ .

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Étape 23.9.1

Associez $\frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ et $5$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} e^{8}$

Étape 23.9.2

Associez $\frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ et $e^{8}$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5 e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.10

Déplacez $5$ à gauche de $7 + 6 e^{16}$ .

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (7 + 6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 7 + 3 (6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{21 + 3 (6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{21 + 18 e^{16} + (5 \cdot 7 + 5 (6 e^{16})) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.5

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + (35 + 5 (6 e^{16})) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.6

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + (35 + 30 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{16} e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.8

Multipliez $e^{16}$ par $e^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.12.8.1

Déplacez $e^{8}$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 (e^{8} e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{8 + 16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.8.3

Additionnez $8$ et $16$ .

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{24}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.9

Réécrivez $21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{24}$ en forme factorisée.

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Étape 23.12.9.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 23.12.9.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(21 + 18 e^{16}) + 35 e^{8} + 30 e^{24}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.9.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 (7 + 6 e^{16}) + 5 e^{8} (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 23.12.9.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 + 6 e^{16}$ .

$\frac{(7 + 6 e^{16}) (3 + 5 e^{8})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Étape 24

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{(7 + 6 e^{16}) (3 + 5 e^{8})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

Forme décimale :

$1.99718271 \dots$