Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

Étape 7

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Multipliez $4 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 4}$

Étape 9.1.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 9.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 4}$

Étape 9.1.3.2

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 9.1.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 4}$

Étape 9.1.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 4}$

Étape 9.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 + \frac{9}{2}} + 4}$

Étape 9.1.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

Étape 9.1.6

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

Étape 9.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 9}{2}} + 4}$

Étape 9.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{4 + 9}{2}} + 4}$

Étape 9.1.8.2

Additionnez $4$ et $9$ .

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

Étape 9.2

Associez $3$ et $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$ .

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

Forme décimale :

$0.71825721 \dots$