Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{7 x - 5}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Étape 4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $- 7$ de $x^{- 7}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5}$

Étape 7

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Étape 8

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{3 \sqrt{4 (2)} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 (2 \sqrt{2}) + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{8^{7}}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.5

Élevez $8$ à la puissance $7$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.6

Pour écrire $6 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} \cdot \frac{2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.7

Associez $6 \sqrt{2}$ et $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152 + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.1.9

Multipliez $2097152$ par $6$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 1 \cdot 5}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 5}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $5$ de $56$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{51}$

Étape 10.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$

Étape 10.4

Multipliez $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$ .

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Étape 10.4.1

Multipliez $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}$ par $\frac{1}{51}$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152 \cdot 51}$

Étape 10.4.2

Multipliez $2097152$ par $51$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Forme décimale :

$0.16637807 \dots$