Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\sin (x) + 2}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{\sin (x) + 2}$ comme $e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}}$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{\sin (x) + 2})$ en déplaçant $\sin (x) + 2$ hors du logarithme.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{(\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} (\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} \sin (x) + 2 \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{(lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Étape 3.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (8)}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Évaluez $\sin (8)$ .

$\frac{1}{e^{(0.1391731 + 2) \cdot \ln (8)}}$

Étape 5.1.2

Additionnez $0.1391731$ et $2$ .

$\frac{1}{e^{2.1391731 \cdot \ln (8)}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez $2.1391731 \cdot \ln (8)$ en déplaçant $2.1391731$ dans le logarithme.

$\frac{1}{e^{\ln (8^{2.1391731})}}$

Étape 5.1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{8^{2.1391731}}$

Étape 5.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2.1391731$ .

$\frac{1}{85.48025477}$

Étape 5.2

Divisez $1$ par $85.48025477$ .

$0.0116986$