Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{4 - (\frac{16}{x})}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Étape 8

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{2} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 12.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{4 (2)}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 + 3 (2 \sqrt{2})}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.1.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 (- 2) \frac{1}{8}}$

Étape 12.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 \cdot - 2 \frac{1}{8}}$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 2}$

Étape 12.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun à $4 + 6 \sqrt{2}$ et $2$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 12.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 12.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 12.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 12.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 12.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + 3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 12.3.4.4

Divisez $2 + 3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$2 + 3 \sqrt{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 + 3 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$6.24264068 \dots$