Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to - 8} x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $\frac{1}{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- lim_{x \to - 8} 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 1 \cdot 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

Étape 9

Placez le terme $\frac{2}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} lim_{x \to - 8} x^{8}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $8$ de $x^{8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 4096 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.2

Multipliez $5$ par $4096$ .

$\frac{\sqrt{20480 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.3

Pour écrire $20480$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{20480 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.4

Associez $20480$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.6.1

Multipliez $20480$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{81920 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.6.2

Soustrayez $1$ de $81920$ .

$\frac{\sqrt{\frac{81919}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{81919}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{2^{2}}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.1.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $8$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} \cdot 16777216}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot 16777216$ .

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $16777216$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - 16777216 (\frac{2}{3})}$

Étape 12.2.2.2

Associez $- 16777216$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 16777216 \cdot 2}{3}}$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $- 16777216$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 33554432}{3}}$

Étape 12.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{33554432}{3}}$

Étape 12.2.4

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

Étape 12.2.5

Associez $- 12$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

Étape 12.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3 - 33554432}{3}}$

Étape 12.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.7.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 36 - 33554432}{3}}$

Étape 12.2.7.2

Soustrayez $33554432$ de $- 36$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 33554468}{3}}$

Étape 12.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- \frac{33554468}{3}}$

Étape 12.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$

Étape 12.4

Multipliez $\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$ .

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Étape 12.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{81919}}{2}$ par $\frac{3}{33554468}$ .

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{2 \cdot 33554468}$

Étape 12.4.2

Multipliez $2$ par $33554468$ .

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{67108936}$

Étape 12.5

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{81919}$ .

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

Forme décimale :

$- 1.27947917 \cdot 10^{- 5}$