Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Étape 11

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 64}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 5$ par $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.4

Additionnez $2$ et $24$ .

$\frac{\sqrt[3]{26 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.5

Soustrayez $320$ de $26$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.6

Réécrivez $- 294$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 294$ .

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Étape 14.1.6.1

Réécrivez $- 294$ comme $- 1 (294)$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 1 (294)}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.6.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- 1 \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.1.8

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{294}$ comme $- \sqrt[3]{294}$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez $8$ par $8^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.1.1

Multipliez $8$ par $8^{2}$ .

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Étape 14.2.1.1.1

Élevez $8$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Étape 14.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1 + 2}}}$

Étape 14.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{3}}}$

Étape 14.2.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 512}}$

Étape 14.2.3

Additionnez $1$ et $512$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{513}}$

Étape 14.2.4

Réécrivez $513$ comme $3^{3} \cdot 19$ .

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Étape 14.2.4.1

Factorisez $27$ à partir de $513$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

Étape 14.2.4.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

Étape 14.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Étape 14.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Étape 14.4

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}})$

Étape 14.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Étape 14.5.2

Déplacez $\sqrt[3]{19}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Étape 14.5.3

Élevez $\sqrt[3]{19}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Étape 14.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Étape 14.5.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Étape 14.5.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ comme $19$ .

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Étape 14.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{19}$ comme $19^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 14.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 14.5.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Étape 14.5.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Étape 14.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

Étape 14.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

Étape 14.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.6.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

Étape 14.6.2

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

Étape 14.7

Multipliez $3$ par $19$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{57}$

Étape 14.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt[3]{294 \cdot 361}}{57}$

Étape 14.8.2

Multipliez $294$ par $361$ .

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

Forme décimale :

$- 0.83063454 \dots$