Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 729}}{4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $6$ de $x^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $729$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} + 25}}$

Étape 9

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} + 25}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} + lim_{x \to - 8} 25}}$

Étape 11

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 25}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 25}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $25$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 25}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 729}}{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 25}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 729}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 25}}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 729}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 729}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Étape 15.1.2

Additionnez $262144$ et $729$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{4 {(- 8)}^{2} + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{4 \cdot 64 + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Étape 15.2.2

Multipliez $4$ par $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{5 {(- 8)}^{4} + 25}}$

Étape 15.2.3

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{5 \cdot 4096 + 25}}$

Étape 15.2.4

Multipliez $5$ par $4096$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20480 + 25}}$

Étape 15.2.5

Additionnez $20480$ et $25$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}}$

Étape 15.3

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}}$ par $\frac{256 - \sqrt{20505}}{256 - \sqrt{20505}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}} \cdot \frac{256 - \sqrt{20505}}{256 - \sqrt{20505}}$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{262873}}{256 + \sqrt{20505}}$ par $\frac{256 - \sqrt{20505}}{256 - \sqrt{20505}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{(256 + \sqrt{20505}) (256 - \sqrt{20505})}$

Étape 15.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{65536 - 256 \sqrt{20505} + \sqrt{20505} \cdot 256 - {\sqrt{20505}}^{2}}$

Étape 15.6

Simplifiez

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{45031}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[3]{262873} (256 - \sqrt{20505})}{45031}$

Forme décimale :

$0.16047085 \dots$