Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} + 5}{\sqrt{x^{5}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} + 5}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{5}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{5}}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{5}}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 5}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{5}}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 5}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{5}}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $5$ de $x^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 5}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{5}}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{3} + 5}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{5}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{3} + 5}{\sqrt{8^{5}}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 + 5}{\sqrt{8^{5}}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $512$ et $5$ .

$\frac{517}{\sqrt{8^{5}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$\frac{517}{\sqrt{32768}}$

Étape 8.2.2

Réécrivez $32768$ comme $128^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $16384$ à partir de $32768$ .

$\frac{517}{\sqrt{16384 (2)}}$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez $16384$ comme $128^{2}$ .

$\frac{517}{\sqrt{128^{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{517}{128 \sqrt{2}}$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{517}{128 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{517}{128 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{517}{128 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 8.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 8.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 \cdot 2^{1}}$

Étape 8.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{517 \sqrt{2}}{128 \cdot 2}$

Étape 8.5

Multipliez $128$ par $2$ .

$\frac{517 \sqrt{2}}{256}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{517 \sqrt{2}}{256}$

Forme décimale :

$2.85604848 \dots$