Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} + 8}{4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 4}}$

Étape 8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + 4}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + lim_{x \to 8} 4}}$

Étape 10

Placez le terme $64$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 lim_{x \to 8} x^{6} + lim_{x \to 8} 4}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $6$ de $x^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + lim_{x \to 8} 4}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 4}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 4}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 4}}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{512 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Étape 14.1.2

Additionnez $512$ et $8$ .

$\frac{520}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{520}{4 \cdot 512 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $4$ par $512$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 4}}$

Étape 14.2.3

Élevez $8$ à la puissance $6$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{64 \cdot 262144 + 4}}$

Étape 14.2.4

Multipliez $64$ par $262144$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{16777216 + 4}}$

Étape 14.2.5

Additionnez $16777216$ et $4$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{16777220}}$

Étape 14.2.6

Réécrivez $16777220$ comme $2^{2} \cdot 4194305$ .

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Étape 14.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $16777220$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{4 (4194305)}}$

Étape 14.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{520}{2048 + \sqrt{2^{2} \cdot 4194305}}$

Étape 14.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{520}{2048 + 2 \sqrt{4194305}}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun à $520$ et $2048 + 2 \sqrt{4194305}$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $520$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2048 + 2 \sqrt{4194305}}$

Étape 14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2048$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024) + 2 \sqrt{4194305}}$

Étape 14.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{4194305}$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024) + 2 (\sqrt{4194305})}$

Étape 14.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1024) + 2 (\sqrt{4194305})$ .

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024 + \sqrt{4194305})}$

Étape 14.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 260}{2 (1024 + \sqrt{4194305})}$

Étape 14.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}}$

Étape 14.4

Multipliez $\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}}$ par $\frac{1024 - \sqrt{4194305}}{1024 - \sqrt{4194305}}$ .

$\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}} \cdot \frac{1024 - \sqrt{4194305}}{1024 - \sqrt{4194305}}$

Étape 14.5

Multipliez $\frac{260}{1024 + \sqrt{4194305}}$ par $\frac{1024 - \sqrt{4194305}}{1024 - \sqrt{4194305}}$ .

$\frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{(1024 + \sqrt{4194305}) (1024 - \sqrt{4194305})}$

Étape 14.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{1048576 - 1024 \sqrt{4194305} + \sqrt{4194305} \cdot 1024 - {\sqrt{4194305}}^{2}}$

Étape 14.7

Simplifiez

$\frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{- 3145729}$

Étape 14.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{3145729}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{260 (1024 - \sqrt{4194305})}{3145729}$

Forme décimale :

$0.08463540 \dots$