Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} 3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Étape 2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Étape 2.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1})}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$e^{24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Étape 4.2

Simplifiez $24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})$ en déplaçant $24$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24})}$

Étape 4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24}$

Étape 4.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(\frac{8}{8 - 1})}^{24}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

${(\frac{8}{7})}^{24}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8^{24}}{7^{24}}$

Étape 4.6

Élevez $8$ à la puissance $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{7^{24}}$

Étape 4.7

Élevez $7$ à la puissance $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{191581231380566000000}$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun à $4722366482869640000000$ et $191581231380566000000$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $2000000$ à partir de $4722366482869640000000$ .

$\frac{2000000 (2361183241434820)}{191581231380566000000}$

Étape 4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.2.1

Factorisez $2000000$ à partir de $191581231380566000000$ .

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Étape 4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Étape 4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Forme décimale :

$24.64942128 \dots$