Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 64}}{3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $6$ de $x^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $64$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Étape 9

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + 16}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15.1.2

Additionnez $262144$ et $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{262208}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15.1.3

Réécrivez $262208$ comme $4^{3} \cdot 4097$ .

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Étape 15.1.3.1

Factorisez $64$ à partir de $262208$ .

$\frac{\sqrt[3]{64 (4097)}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15.1.3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 \cdot 64 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15.2.2

Multipliez $3$ par $64$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Étape 15.2.3

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 \cdot 4096 + 16}}$

Étape 15.2.4

Multipliez $2$ par $4096$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8192 + 16}}$

Étape 15.2.5

Additionnez $8192$ et $16$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8208}}$

Étape 15.2.6

Réécrivez $8208$ comme $12^{2} \cdot 57$ .

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Étape 15.2.6.1

Factorisez $144$ à partir de $8208$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{144 (57)}}$

Étape 15.2.6.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{12^{2} \cdot 57}}$

Étape 15.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $192 + 12 \sqrt{57}$ .

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Étape 15.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt[3]{4097}$ .

$\frac{4 (\sqrt[3]{4097})}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Étape 15.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $192$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 12 \sqrt{57}}$

Étape 15.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $12 \sqrt{57}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 4 (3 \sqrt{57})}$

Étape 15.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (48) + 4 (3 \sqrt{57})$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Étape 15.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Étape 15.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ par $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$

Étape 15.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ par $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{(48 + 3 \sqrt{57}) (48 - 3 \sqrt{57})}$

Étape 15.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{2304 - 144 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Étape 15.7

Simplifiez

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{1791}$

Étape 15.8

Annulez le facteur commun à $48 - 3 \sqrt{57}$ et $1791$ .

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Étape 15.8.1

Factorisez $3$ à partir de $\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{1791}$

Étape 15.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $1791$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 (597)}$

Étape 15.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 \cdot 597}$

Étape 15.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Forme décimale :

$0.22648852 \dots$